\section{Introducción Teórica}

Los humanos podemos percibir el volumen (3D) de un objeto con tan solo mirarlo, aún cuando el objeto sea visto por
nuestros ojos por primera vez. El cerebro humano juega un papel principal para combinar (dos) imágenes 2D y traducirlo
en un mundo en tres dimensiones.

Comprender y analizar el modelado en 3D a partir de imágenes 2D es probablemente uno de los problemas más interesantes
al hablar de visión por computación. En este trabajo, intentaremos inferir la forma real de un objeto a partir de tres
imágenes en dos dimensiones aplicando funciones matemáticas.

En esta sección presentamos los conceptos teóricos fundamentales para la resolución del problema.

\subsection{El proceso de reconstrucción}

El proceso de inferencia se centra en la reconstrucción del objeto en tres dimensiones a partir de 3 imágenes capturadas
por una cámara cuya posición no se altera, pero utilizando una fuente de ilumnación que es ubicada en distintas en la
toma de cada imágen. La iluminación, no obstante, se mantiene a una distancia y con una intensidad constante.

Para realizar el trabajo hay un par de asunciones que es importante destacar, y aportan a simplificar el problema en
algunos aspectos:

\begin{itemize}
 \item las imágenes se suponen Lambertianas, que indica que la superficie es mate y refleja la luz uniformemente
  (piense lo complicado que sería trabajar con una superficia de vidrio)
 \item se puede asumir que cualquier componente (R, G o B, o la suma) es igualmente válida para realizar los cálculos.
\end{itemize}

Considere la figura que se muestra a continuación. Ésta nos servirá para describir algunas partes del proceso de
inferencia. Particularmente, la relación entre la imágen capturada (Image plane), la fuente de luz (Light source) y la
recta normal a la superficie, que juegan un papel clave.

\includegraphics[width=130mm]{proceso.png}

El procedimiento se compone de los siguientes pasos:

\begin{itemize}
 \item Calibración
 \item Construcción del campo normal
 \item Normalización
 \item Cálculo de la profundidad
\end{itemize}

Más información sobre cada paso del proceso se encuentra en la sección ~\ref{sec:ApendiceA} que contiene el enunciado
del trabajo.

\subsection{Método de Gauss}

La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando
se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una
incógnita menos que la anterior.

El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. Teniendo esta matriz, es 
fácil despejar para obtener los resultados del sistema, comenzando por la última fila --que presenta una única
incógnita- y utilizar ese valor para continuar la resolución del sistema.

\subsection{Factorización LU}

En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU (del inglés Lower-Upper) es una forma de factorización de
una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior.

La factorización LU es básicamente una forma modificada de la eliminación gaussiana. Transformamos la matriz A en una
triangular superior U anulando los elementos debajo de la diagonal.
\begin{displaymath}
  E_1 \times E_2 \times \ldots \times E_n \times A = U
\end{displaymath}
Donde $E_1$, $E_2$, $\ldots$, $E_n$ son matrices elementales, que representan los distintos pasos de la eliminación.
Luego recordando que la inversa de una matriz elemental, es otra matriz elemental:
\begin{displaymath}
  A = E_n^{-1} \times \ldots \times E_2^{-1} \times E_1^{-1} \times U
\end{displaymath}
Llamamos L a $E_n^-1 \times \ldots \times E_2^-1 \times E_1^-1$ una matriz triangular inferior.

\subsection{Y mas...}


